CONDITIONS AUX LIMITES DE LA CONDUCTION THERMIQUE

Lors de la résolution de l’équation différentielle régissant la conduction thermique dans un corps, il est nécessaire d’appliquer des conditions aux limites du domaine d’analyse pour obtenir une solution.  Les trois conditions aux limites les plus courantes sont :

(1) Température constante

(2) flux thermique constant

(3) Convection 

Conditions aux limites à température constante

Pour la condition aux limites à température constante, la température de la surface est supposée rester à la valeur spécifiée. Quelle que soit la quantité de chaleur qui traverse la surface. 

En général, la température de surface spécifiée peut changer avec le temps, et peut également être différente pour des points distincts des limites.  Physiquement, les conditions limites à température constante sont souvent très bien approchées par un changement de phase (ébullition, fusion, condensation, etc.) à la surface.  

L’énergie associée au changement de phase absorbe ou fournit de grandes quantités de chaleur à la température du changement de phase.

Conditions de flux thermique constant

Dans le cas d’un flux thermique constant, le flux thermique à la surface est supposé rester à la valeur spécifiée, quelle que soit l’évolution de la température.  Là encore, dans le cas le plus général, le flux thermique spécifié peut être une fonction du temps et de la position.  

Sur une gamme limitée de températures, une condition limite de flux thermique constant peut être approximée par une fine résistance électrique ou par le chauffage radiatif d’une source dont la température est beaucoup, beaucoup plus élevée que celle de la surface.  Une surface bien isolée constitue un cas particulier de condition limite à flux thermique constant où ce flux est spécifié comme étant nul.  C’est ce qu’on appelle une surface adiabatique.

Conditions aux limites de la convection

Une condition limite de convection se produit lorsque la surface est exposée à un transfert de chaleur par convection régi par la loi de refroidissement de Newton.  Le coefficient de transfert de chaleur par convection et la température du flux libre peuvent, en général, être tous deux des fonctions du temps et de la position.

Un exemple simple de transfert de chaleur unidimensionnel en régime permanent peut illustrer l’effet et l’application de différentes conditions aux limites.  L’équation différentielle qui gouverne (en supposant des propriétés constantes) est simplement :

Qui peut être intégrée deux fois pour donner :

T (x) = A * x + B

Où A et B sont des constantes d’intégration qui seront déterminées par les conditions aux limites.  La structure de l’équation différentielle indique que la distribution de la température sera toujours une ligne droite dans ce cas, avec une pente de « A » et un point d’intersection des ordonnées en « B ».  Ainsi, les conditions aux limites détermineront la pente et le point d’intersection des ordonnées de la distribution de la température.

Conditions aux limites à température constante sur les parois

Si nous appliquons des conditions aux limites à température constante aux deux parois : T(x = 0) = T0, et T(x = L) = TL, alors B = T0, et TL = A*L + T0, ou A = (TL-T0)/L. En combinant ces éléments, on obtient la distribution de la température dans la paroi :

Maintenant, posons une condition limite de température constante à x = 0 : T(x = 0) = T0, et appliquons une condition limite de flux thermique constant à x = L : -k(dT/dx)|x=L = q » où l’on suppose que la valeur de q » est spécifiée.  La conductivité thermique du corps est « k ».  Ces conditions aux limites donnent lieu à la distribution de température :

Dans le cas particulier de la paroi adiabatique (q » = 0), la distribution de température est juste une constante, la température imposée du côté gauche, T0.

Enfin, nous abordons la condition de température constante toujours sur le côté gauche. Ici, nous pouvons imposer une condition de convection sur le côté droit : -k(dT/dx)|x=L = h*(T(x=L)-Tinf).  La température à x = L est A*L + T0, donc la distribution finale de la température est :

Dans la vie réelle, les conditions aux limites sont rarement parfaites, cohérentes et complètement connues (comme pour les propriétés des matériaux, la géométrie, les conditions de surface, etc.).  Cependant, comprendre les conditions aux limites qui ont servi à la formulation d’une équation ou d’un modèle numérique permet d’avoir une vision réaliste des hypothèses et des limites du modèle.

Biographie

James Stevens est professeur au département d’ingénierie mécanique et aérospatiale de l’université du Colorado à Colorado Springs.  Il est spécialisé dans l’analyse numérique et analytique du transfert de chaleur. Couvrant à la fois les régimes permanents et transitoires avec des applications à l’histoire thermique, à la réponse thermique, au refroidissement électronique, aux profils de température, à la conception thermique, à la détermination du débit thermique, etc. Il travaille également dans le domaine de la thermodynamique appliquée, avec des applications pour les énergies renouvelables, le CVC, les moteurs à air, les nouveaux moteurs thermiques, etc. Il a plus de 30 ans d’expérience dans l’enseignement supérieur, où il a enseigné à des étudiants de premier et de second cycle. Il effectue des recherches, élabore des cours et des programmes d’études et conseille des étudiants.